伍次寅臺灣大學：機械工程學研究所陳弘真Chen, Hung-ChenHung-ChenChen2007-11-282018-06-282007-11-282018-06-282007http://ntur.lib.ntu.edu.tw//handle/246246/61271在碎形幾何的領域中，碎形維度是描述碎形特徵的一個重要參數。過去對於碎形維度的定義以及應用也已經有十分完備的研究。但是當我們利用碎形維度來分析一筆資料時，卻無法從維度的數值中瞭解圖形分佈在局部是否具有方向性。為了改善這個缺點，在本文中，我們發展了一套方法，用來找尋碎形結構在局部區域的方向性。並透過投影法，將傳統的一個碎形維度數值，分解為各個主要方向上的投影維度，也因此幫助我們更瞭解碎形在局部範圍中，言不同方向上所表現出來的差異。 在本文中，我們利用這個分析方式，分析了兩個著名的碎形結構：Henon映射以及Lorenz吸引子。我們計算初期各方向上的投影維度，並對於投影方向的穩定性、各方向間點分佈的均勻性、以及數值的誤差做出討論。In fractal geometry, fractal dimension is an important number that describes the characteristic of fractals. The study about definition and applications of fractal dimension is well established already. However, we have no idea about the local directions of fractals when we use fractal dimension for analysis. For this reason, we develop some tools that can help us find the local directions of fractals. As well, using the projection method, we define some local dimensions of fractal along each direction to replace a single global fractal dimension. The local dimensions can help us understand the details of the structure and its differences along different directions. In this paper, we analyze two famous fractals: Henon map and Lorenz attractor. We calculate the projected dimensions along different directions. Consistency of eigen-directions, uniformity of distribution, and numerical error of them are also discussed.致謝 I 摘要 III ABSTRACT IV 目錄 V 圖目錄 VII 表目錄 X 符號表 XI 第1章 導論 1 1-1 何謂碎形 1 1-1.1 碎形的發現 1 1-1.2 碎形的性質 3 1-1.3 碎形的定義 4 1-1.4 碎形幾何的應用 5 1-2 碎形維度 6 1-2.1 相似維度（Similarity Dimension） 6 1-2.2 計盒維度（Capacity Dimension） 7 1-2.3 關聯維度（Correlation Dimension） 8 1-2.4 碎形維度的限制 10 1-3 研究動機 11 第2章 局部投影維度分析 13 2-1 奇異值分解 13 2-2 投影理論 18 2-3 碎形維度求法 20 2-3.1 計盒維度計算 21 2-3.2 利用線性迴歸求比例區域 23 第3章 數值計算及分析 28 3-1 HÉNON 映射 28 3-1.1 定義及基本性質 28 3-1.2 Hénon映射局部投影維度分析 30 3-1.3 Henon映射局部投影維度的穩定性 32 3-1.4 結論 43 3-2 羅倫茲方程式 46 3-2.1 定義及基本性質 46 3-2.2 角度變化量的廣義定義 47 3-2.3 羅倫茲方程局部投影維度及穩定性分析 50 3-2.4 結論 63 第4章 結論與未來研究方向 67 4-1 結論 67 4-2 未來研究方向 69 參考文獻 712034435 bytesapplication/pdfen-US碎形局部維度投影法奇異值分解共變異矩陣fractallocal dimensionprojectionsingular value decompositioncovarience matrixthesishttp://ntur.lib.ntu.edu.tw/bitstream/246246/61271/1/ntu-96-R93522110-1.pdf