楊照彥臺灣大學：應用力學研究所湯國樑Tang, Gwo-LiangGwo-LiangTang2007-11-292018-06-282007-11-292018-06-282005http://ntur.lib.ntu.edu.tw//handle/246246/62342波茲曼方程式為一多變數且非線性的積分微分方程式，在數學上極難求解。故其碰撞項常用一碰撞模式取代，可使得在數學處理上較容易。本文應用分立座標法將速度空間離散化，移除了速度空間與分佈函數的關係，故分佈函數只需用適當的速度分立點來表示即可。如此一來，原本在位置空間、速度空間及時間軸上皆為連續的分佈函數，其運動方程式為一積分微分方程式，經由分立座標法的處理後，將其變成在位置空間及時間軸上為連續，而在速度空間為點函數的微分方程組，此處理後，將大大簡化數值計算的困難。本文將利用加權型基本不振盪算則(WENO算則)配合分立座標法，求解波茲曼模型方程式；並發展波茲曼模型方程式之隱式WENO算則，以求解穩態稀薄氣體流場問題。 本文首先將利用一維震波管算例，將波茲曼模型方程式，經由分立座標法將速度空間分立化，再利用WENO算則計算以測試其準確性，並與其它高解析算則比較。 由於不同氣體分子的碰撞行為極難描述，故本文將首次研發出不同氣體分子的碰撞頻率，並將此碰撞頻率代入波茲曼模型方程式中，以求解二元混合氣體流場的問題。我們也將利用一維震波管算例，並在低紐森數的條件下，與尤拉方程式的解析解比較，以測試碰撞頻率的適用性。從結果發現，我們研發的碰撞頻率確實能描述氣體分子的碰撞特性。 在二維流場算例中，我們計算圓柱及NACA 0012翼形流場問題。在圓柱流場時，我們探討不同馬赫數且不同紐森數時的流場特性，並在低紐森數時，與那維爾-史托克方程式的計算結果比較，我們比較了弓形震波及尾流附近的特性，其結果是相當符合的，同時我們也比較不同高解析隱式算則的收斂歷程，從收斂歷程圖可得到，本文發展出來的隱式WENO算則有較佳的收斂效果；在NACA 0012翼形的流場中，我們將與實驗結果做比較，發現利用WENO算則計算的結果，對於具有攻角的流場，亦有相當高的準確度。The Boltzmann equation is a nonlinear, integral, and differential equation with many variables. It is difficult to be solved mathematically, so the collision term is usually replaced with a collision model. This will make it easier to deal with. In this paper, the velocity space will be discreted by applying discrete ordinate method. The relation between velocity space and distribution function is eliminated, so the distribution function can be represented as proper discrete velocity points. Therefore, the motion equation of distribution function, which is continuous in physical space, velocity space, and time, is an integral and differential equation, and by discrete ordinate method it becomes differential equations, which are continuous in physical space and time only and point-wise in velocity space. After this kind of treatment, the difficulties of numerical calculating will be greatly reduced. In this paper, the WENO scheme in conjuction with discrete ordinate method was applied to solve the model Blotzmann equation, and the implicit WENO scheme for the model Blotzmann equation was developed to solve the steady solutions of rarefied gas flows. First, the accuracy of the present scheme was verified by calculating the case of 1-D shock tube problem, which applied discrete ordinate method to discretize the velocity space of Blotzmann model equation and WENO scheme. The result of this case was also compared with results of other high resolution schemes. Because it is difficult to describe the behaviors of collisions between different species of gas molecule, the collision frequency of different species of gas molecule was first developed and substituted into Blotzmann model equation to solve the binary gas mixture flow problem. The suitability was verified by comparing the result of 1-D shock tube case with the analytic solution of Euler’s equation in low Knudsen number condition. The collision frequency developed in this paper can surely describe the behaviors of gas molecules via the result. In cases of 2-D flow problems, the external flows of cylinder and NACA 0012 airfoil were studied. For gas flow past cylinder, the characters of flow field in different Mach number and Knudsen number condition were investigated, and especially for low Knudsen number cases, the results were compared with calculating results of Euler’s equation. It showed that they are correspondent by comparing the characters of bow shock and wake. The convergence rates of different high resolution and implicit schemes were also investigated. The convergence behavior of the implicit WENO scheme developed in this paper is better than others. For gas flow past NACA 0012 airfoil, the calculating results were compared with results of experiment. It showed that the results of WENO scheme are of higher accuracy for the case with angle of attack.摘要 ……………………………………………………………………I 英文摘要 ………………………………………………………………II 目錄 ……………………………………………………………………IV 附表目錄 ………………………………………………………………VII 附圖目錄 ………………………………………………………………VIII 第一章 緒論 1 1-1 引言 ……………………………………………………………………1 1-2 文獻回顧 ………………………………………………………………3 1-3 本文目的 ………………………………………………………………6 1-4 本文內容 ………………………………………………………………7 第二章 統御方程式 9 2-1 氣體動力論 ……………………………………………………………9 2-1.1 紐森數 …………………………………………………………9 2-1.2 流動分類 ………………………………………………………9 2-1.3 分子速度分佈函數 ……………………………………………11 2-1.4 氣體巨觀性質 ………………………………………………12 2-2 波滋曼方程式 …………………………………………………………14 2-3 波滋曼模型方程式 ……………………………………………………16 2-3.1 單原子BGK模型方程式 ……………………………………16 2-3.2 二元單原子混合氣BGK模型方程式 ………………………17 2-3.3 雙原子BGK模型方程式 ……………………………………22 2-4 固體壁面的邊界條件 …………………………………………………23 第三章 數值方法 25 3-1 前言 …………………………………………………………………25 3-2 雙曲線型守 瓻葴漇h ………………………………………………25 3-3 TVD與ENO算則 …………………………………………………26 3-4 WENO算則 …………………………………………………………28 3-4.1 WENO2算則 ………………………………………………29 3-4.2 WENO3算則 ………………………………………………30 3-5 TVD Runge-Kutta時間積分算則 …………………………………31 第四章 波茲曼模型方程式的數值方法 33 4-1 分立座標法 …………………………………………………………33 4-1.1 基本概念 …………………………………………………33 4-1.2 積分公式的選用 ……………………………………………34 4-1.3 單原子氣體的一維流動 ……………………………………35 4-1.4 單原子氣體的二維流動 ……………………………………37 4-1.5 二元單原子混合氣體的一維流動 …………………………41 4-1.6 二元單原子混合氣體的二維流動 …………………………44 4-1.7 雙原子氣體的二維流動 ……………………………………48 4-2 雙曲線守 瓻葥疙悛R算則 …………………………………………52 4-2.1 前言 …………………………………………………………52 4-2.2 一維單原子氣體BGK模型方程式的計算法 ……………52 4-2.3 一維二元單原子混合氣體BGK模型方程式的計算法 …52 4-2.4 二維單原子氣體BGK模型方程式的計算法 ……………53 4-2.5 二維二元單原子混合氣體BGK模型方程式的計算法 …57 4-3 邊界條件 ……………………………………………………………58 4-3.1 固體表面邊界條件 …………………………………………58 4-3.2 遠域邊界條件 ………………………………………………59 4-3.3 對稱邊界條件 ………………………………………………59 第五章 一維稀薄氣體震波管算例 60 5-1 前言 …………………………………………………………………60 5-2 單原子氣體的Lax震波管問題 ……………………………………60 5-3 單原子氣體的Sod震波管問題 ……………………………………62 5-4 二元單原子混合氣體的Lax震波管問題 …………………………63 5-5 二元單原子混合氣體的Sod震波管問題 …………………………65 第六章 二維稀薄氣體圓柱算例 67 6-1 前言 …………………………………………………………………67 6-2 馬赫數1.80之流場 …………………………………………………67 6-3 馬赫數5.48之流場 …………………………………………………72 6-4 馬赫數0.22之流場 …………………………………………………73 第七章 NACA 0012稀薄氣體算例 74 7-1 前言 …………………………………………………………………74 7-2 馬赫數2.0之流場 …………………………………………………74 7-2.1 攻角為0度 …………………………………………………74 7-2.2 攻角為10及20度 …………………………………………75 7-3 馬赫數0.8之流場 …………………………………………………77 7-3.1 攻角為0度 …………………………………………………77 7-3.2 攻角為10及20度 …………………………………………78 第八章 結論及展望 79 8-1 結論 …………………………………………………………………79 8-2 展望 …………………………………………………………………80 參考文獻 81 附 表 目 錄 表3.1 修正半幅Gauss-Hermite積分公式之根與加權係數 [Huang & Giddens (1968)、黃俊誠 (1995)] ……………………………85 表3.2 Gauss-Laguerre積分公式之根與加權係數 [Kopal (1961)] ……………………………………………………………88 附 圖 目 錄 圖2-1.1 氣體流動的分類 ………………………………………………………90 圖2-1.2 統御方程式與局部紐森數的關係 ……………………………………91 圖5-2.1 LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.001 ) ………………………………………92 圖5-2.2 LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.001 ) ………………………………………93 圖5-2.3 LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.01 ) ………………………………………94 圖5-2.4 LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.01 ) ………………………………………95 圖5-2.5 LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.1 ) …………………………………………96 圖5-2.6 LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.1 ) …………………………………………97 圖5-2.7 LAX震波管算例 (WENO3算則、 =1.0 ) …………………………………………98 圖5-2.8 LAX震波管算例 (WENO2算則、 =1.0 ) …………………………………………99 圖5-2.9 LAX震波管算例：算則比較 (壓力與速度、 =0.001) …………………………………………100 圖5-2.9 續 (密度與溫度、 =0.001 ) ………………………………………101 圖5-2.10 LAX震波管算例：算則比較 (壓力與速度、 =0.01 ) ………………………………………102 圖5-2.10 續 (密度與溫度、 =0.01 ) ………………………………………103 圖5-2.11 LAX震波管算例：算則比較 (壓力與速度、 =0.1 ) …………………………………………104 圖5-2.11 續 (密度與溫度、 =0.1 ) …………………………………………105 圖5-2.12 LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.001、400等間距格點 ) ………………106 圖5-3.1 SOD震波管算例 (WENO3算則、 =0.01 ) ………………………………………107 圖5-3.2 SOD震波管算例 (WENO2算則、 =0.01 ) ………………………………………108 圖5-3.3 SOD震波管算例 (WENO3算則、 =0.1 ) ………………………………………109 圖5-3.4 SOD震波管算例 (WENO2算則、 =0.1 ) …………………………………………110 圖5-3.5 SOD震波管算例 (WENO3算則、 =1.0 ) …………………………………………111 圖5-3.6 SOD震波管算例 (WENO2算則、 =1.0 ) ………………………………………112 圖5-3.7 SOD震波管算例：算則比較 (密度與溫度、 =0.1 ) …………………………………………113 圖5-4.1 混合氣LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.001 ) ……………………………………114 圖5-4.1 續 (WENO3算則、 =0.001 ) ……………………………………115 圖5-4.2 混合氣LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.001 ) ……………………………………116 圖5-4.2 續 (WENO2算則、 =0.001 ) ……………………………………117 圖5-4.3 混合氣LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.01 ) ………………………………………118 圖5-4.3 續 (WENO3算則、 =0.01 ) ………………………………………119 圖5-4.4 混合氣LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.01 ) ………………………………………120 圖5-4.4 續 (WENO2算則、 =0.01 ) ………………………………………121 圖5-4.5 混合氣LAX震波管算例 (WENO3算則、 =0.1 ) …………………………………………122 圖5-4.5 續 (WENO3算則、 =0.1 ) …………………………………………123 圖5-4.6 混合氣LAX震波管算例 (WENO2算則、 =0.1 ) …………………………………………124 圖5-4.6 續 (WENO2算則、 =0.1 ) …………………………………………125 圖5-4.7 混合氣LAX震波管算例 (WENO3算則、 =1.0 ) …………………………………………126 圖5-4.7 續 (WENO3算則、 =1.0 ) …………………………………………127 圖5-4.8 混合氣LAX震波管算例 (WENO2算則、 =1.0 ) …………………………………………128 圖5-4.8 續 (WENO2算則、 =1.0 ) …………………………………………129 圖5-5.1 混合氣SOD震波管算例 (WENO3算則、 =0.01 ) ………………………………………130 圖5-5.2 混合氣SOD震波管算例 (WENO2算則、 =0.01 ) ………………………………………131 圖5-5.3 混合氣SOD震波管算例 (WENO3算則、 =0.1 ) …………………………………………132 圖5-5.4 混合氣SOD震波管算例 (WENO2算則、 =0.1 ) …………………………………………133 圖5-5.5 混合氣SOD震波管算例 (WENO3算則、 =1.0 ) …………………………………………134 圖5-5.6 混合氣SOD震波管算例 (WENO2算則、 =1.0 ) …………………………………………135 圖5-5.7 混合氣SOD震波管算例 (各別氣體與混合氣之密度與壓力， =0.01) …………………136 圖6-2.1 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =1.8、Kn=0.001) ……………………………137 圖6-2.2 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =1.8、Kn=0.01) ……………………………138 圖6-2.3 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =1.8、Kn=0.1) ………………………………139 圖6-2.4 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =1.8、Kn=1.0) ……………………………140 圖6-2.5 二維圓柱算例：各算則收斂情形的比較 ………………………141 圖6-2.6 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (TVD2算則： =1.8、Kn=0.001) ……………………………142 圖6-2.7 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (上圖為NS模型；下圖為Kn=0.001) ……………………………143 (a) 壓力(b)密度(c)溫度(d)馬赫數 圖6-2.8 二維圓柱算例：流場速度向量與流線追跡圖 (a) NS模型 (b)Kn=0.001 (c)Kn=0.01 (d)Kn=0.1 ………………147 圖6-2.9 二維圓柱算例： =0.001的流場速度向量與流線追跡圖 (a) WENO3算則 (b)TVD2算則 ………………………………149 圖6-2.10 二維圓柱算例：圓柱表面流場巨觀特性參數不同Kn比較 (a)密度(b)壓力係數(c)滑動速度(d)滑動溫度 (e)剪應力 (f)剪應力 (g) (WENO3算則： =1.8) ……………………………………150 圖6-2.11 二維圓柱算例：前停滯線流場巨觀特性參數不同Kn比較 (a)密度(b)溫度(c)壓力(d)馬赫數 (WENO3算則： =1.8) ……………………………………154 圖6-2.12 二維圓柱算例：後停滯線流場巨觀特性參數不同Kn比較 (a)密度(b)溫度(c)壓力(d)馬赫數 (WENO3算則： =1.8) ……………………………………156 圖6-2.13 二維圓柱算例：NS模型的後停滯線流場巨觀特性參數 (a)密度(b)溫度(c)壓力(d)馬赫數 (TVD2算則： =1.8) ………………………………………158 圖6-2.14 的圓柱表面流場巨觀特性參數不同算則比較 (a)密度(b)壓力係數(c)滑動速度(d)滑動溫度 ………………160 圖6-2.15 =0.001的前停滯線流場巨觀特性參數不同算則比較 (a)密度(b)溫度(c)壓力(d)馬赫數 ………………………………162 圖6-2.16 =0.001的後停滯線流場巨觀特性參數不同算則比較 (a)密度(b)溫度(c)壓力(d)馬赫數 ……………………………164 圖6-2.17 二維圓柱算例： =0.001的流場速度向量與流線追跡圖 (a)WENO3算則( =0.001 ) (b)TVD2算則( =0.0001)[Li(2004)] ………………………166 圖6-3.1 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =5.48、Kn=0.025) ………………………167 圖6-3.2 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =5.48、Kn=0.3) …………………………169 圖6-3.3 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =5.48、Kn=1.0) …………………………170 圖6-4.1 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =0.22、Kn=0.1) …………………………171 圖6-4.2 二維圓柱算例：流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =0.22、Kn=1.0) …………………………172 圖7-2.1 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =2.0、Kn=0.03) …………………………173 圖7-2.2 NACA0012算例：雙原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =2.0、Kn=0.03) …………………………174 圖7-2.3 NACA0012算例：表面流場巨觀特性參數 (a)密度(b)壓力係數(c)滑動速度(d)滑動溫度 (e)剪應力 (f)剪應力 (g) (WENO3算則： =2.0、Kn=0.03) ……………………………175 圖7-2.4 NACA0012算例：雙原子氣體的流場密度與實驗比較 (a)實驗結果(b)計算結果 ( =2.0、 、 ) …………………………………179 圖7-2.5 NACA0012算例：( )網格點分佈 …………………………180 圖7-2.6 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) ………………181 圖7-2.7 NACA0012算例：雙原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) ………………183 圖7-2.8 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) ………………185 圖7-2.9 NACA0012算例：雙原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) ………………187 圖7-2.10 NACA0012算例：雙原子氣體的流場密度分佈實驗量測結果…189 圖7-3.1 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =0.8、Kn=0.018) ……………………………190 圖7-3.2 NACA0012算例：雙原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： =0.8、Kn=0.018) ……………………………191 圖7-3.3 NACA0012算例：表面流場巨觀特性參數 (a)密度(b)壓力係數(c)滑動速度(d)滑動溫度 (WENO3算則： =2.0、Kn=0.03) ……………………………192 圖7-3.4 NACA0012算例：( )網格點分佈 …………………………194 圖7-3.5 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) ………………195 圖7-3.6 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.018) ………………197 圖7-3.7 NACA0012算例：單原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.03) …………………199 圖7-3.8 NACA0012算例：雙原子氣體的流場巨觀特性參數等高線圖 (WENO3算則： 、 、Kn=0.018) ………………201 圖7-3.9 NACA0012算例：雙原子氣體的流場密度分佈實驗量測結果 …203 圖7-3.10 NACA0012算例：雙原子氣體的流場密度分佈實驗量測結果 …2045960904 bytesapplication/pdfen-US波茲曼模型方程式高解析數值方法The Model Boltzmann EquationHigh Resolution Schemethesishttp://ntur.lib.ntu.edu.tw/bitstream/246246/62342/1/ntu-94-F86543071-1.pdf